Matrizen für Dummies

Stümpfe für Dummies

Dr. Hempel - Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten. Sind Sie im Krieg mit der Vektor- und Matrixberechnung? Das ist das richtige Buch für Sie. Analyseskript für Dummies hinzugefügt.

Egal, was Sie tun wollen, auf einer bestimmten Ebene der Mathematik führt kein Weg an der Vektor- und Matrixberechnung vorbei.

Definieren einer Matrize

Im folgenden Abschnitt erfahren wir, was eine Matrize ist, welche Eigenschaftsmatrizen es gibt und welche speziellen Matrizen es gibt. Die Matrize ist ein rechtwinkliges System, dessen Bestandteile in der Regel Nummern sind. Weiterhin können Variable oder Funktion als Element der Matrize verwendet werden. Die Matrize setzt sich aus \(m\) Reihen und \(n\) Säulen zusammen und wird die (m,n) Matrize bezeichnet.

Das Ausmaß einer Matrize mit \(m\) Reihen und \(n\) Säulen ist \(m× n\). Das ist eine (3,2) Matrize, d.h. eine Matrize mit 3 Reihen und 2 Säulen. Die Matrizen können addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Darüber hinaus können Matrizen transponiert und invertiert werden. Nachfolgend werden einige Matrizen erwähnt, die sich von anderen Matrizen durch ihre spezielle Form abheben.

Matrizen mit der gleichen Zahl von Reihen und Säulen (\(m = n\)) werden als Quadrat bezeichnet. Eine quadratische Matrize, auf die \(i = j\) zutrifft, bildet die sogenannte Haupt-Diagonale der Mutter. Wenn alle Bestandteile einer Matrize gleich Null sind, spricht man von einer Nullmatrix. Als Einheitsmatrix wird eine Matrize bezeichnet, in der die Bestandteile der Hauptschräge gleich Eins und alle anderen Bestandteile gleich Null sind.

Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine Matrize, in der alle Bestandteile - mit Ausnahme der Bestandteile der Hauptdiagonale - gleich Null sind. Anmerkung: Die Einheitenmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich eins) und die Nullmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich null) sind besondere Diagonalen. Falls alle Teile unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, wird die Matrize als "obere Dreiecksmatrix" bezeichnet.

Falls alle über den Diagonalen liegenden Teile gleich Null sind, wird die Matrize als "untere Dreiecksmatrix" bezeichnet. Weitere Matrizen.... Sie sehen, das Gebiet der Matrixberechnung ist ein relativ großer Teil der mathematischen Grundlagen. Das ist vor allem auf die große praktische Relevanz von Matrizen zurückzuführen. Ich bin immer offen für Komplimente, Kritiken und Vorschläge.

Matrix Berechnungsgrundlagen

Da die Matrixberechnung ein Teilbereich der Lineare Algebra ist, ist sie auch Teil des Lehrgangs 40600 " Fundamentals of Analysis and Linear Algebra". Der vorliegende Beitrag soll eine kurze Einleitung in das Gebiet der Matrixberechnung geben und die Grundzüge und Berechnungsregeln für Matrizen erläutern. Und was ist eine Matrize? Die Matrize (Mehrzahl: Matrizen) ist eine rechtwinklige (tabellarische) Zahlenanordnung.

Es beinhaltet horizontale Linien und vertikale Säulen. Die Matrizen sind gut geeignet für den Abgleich oder die Kalkulation von Beziehungen. Sie können sie auch in einer gewöhnlichen tabellarischen Struktur mit beschrifteten Reihen und Reihen anzeigen, aber die Anzeige in Matrixform ist viel klarer und leichter zu errichten.

Mit Matrizen zu berechnen ermöglicht die Abbildung und Kalkulation solcher linearen Anordnungen. Die Matrize setzt sich aus mehreren Reihen und n Säulen zusammen. Durch Multiplizieren der Zahl der Zeilen und der Spalte wird dann die Zahl der einzelnen Element berechnet. Eine Matrize wird daher auch als Matrize bezeichnet. Eine Matrize wird in runde Klammern gesetzt und hat folgende Darstellung:

Das Großbuchstabe "A" ist der Titel, oder die Benennung der Matrize. Die Matrizen sind immer mit Grossbuchstaben gekennzeichnet (A, B, C, D, E....). Wenn Sie die Anzahl der Reihen und Säulen angeben, erhalten Sie die Information über die Grösse der Mutter. Eine 3-reihig und 4-spaltig aufgebaute Matrize wird als 3×4-Matrix (A3,4) bezeichnet. 3.

Die 9-zeilige und 2-spaltige 9×2-Matrix und eine Matrize mit nur einem einzigen Inhalt (und damit einer einzigen Reihe und Spalte) wird als 1×1-Matrix bezeichnet. 1. Bei den Einzelelementen a11, a12, a1 handelt es sich immer um Kleinbuchstaben (a, b, c, d, e...) und ergibt sich aus der Zeilennummer und der Spaltentitel.

Jedes einzelne Mitglied hat einen Index für eine Zeile und eine Spalte. Ganze Reihen werden auch als Zeilenvektor bezeichnet, ganze Reihen als Spaltenvektor. Als Transpositionsmatrix (ATm,n) wird eine Matrize (Am,n) bezeichnet, in der die Werte von Zeile und Spalte getauscht werden. In der transponierten Matrize wird ein hochgestellter "T" angezeigt. Eine vertauschte Matrize wird manchmal auch als "gefallene Matrix" bezeichnet, da sie auch ihre Gestalt durch Transpositionsveränderungen erfährt.

Wenn es sich bei der Matrize um eine rechteckige Matrize handelte (siehe nächster Abschnitt), wird sie bei der Transponierung in der Diagonale (a11, a22 usw.) wiedergegeben. Bei der Berechnung mit transponierter Matrize gilt Folgendes Man unterscheidet verschiedene Typen von Matrizen. Für eine Quadratmatrix ist die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten.

Dann wird die Spaltennummer n auch als Reihenfolge der Matrize bezeichnet. Ein Diagramm verknüpft die beiden Teile a1,1 und am,n. Bei der Transponierung wird eine Quadratmatrix in der Diagonalen (von a11 bis amn) wiedergegeben. Bei einer symmetrischen Matrize handelt es sich auch um eine Quadratmatrix mit der Eigenschaft, dass sie in der Diagonalen wiedergegeben wird: Sie kann in der Diagonalen wiedergegeben werden: Sie ist in der Lage, sich zu spiegeln:

Bei einer quadratischen Matrize, die nur Nullpunkte oberhalb oder unterhalb der Diagonalen hat, spricht man von einer oberen (unteren) Dreiecksmatrize (weil die Nullpunkte ein dreieckiges Bild bilden): Es ist unerheblich, ob sich auf der Diagonalen selbst Nullpunkte finden. Wenn eine Matrize rechteckig und zugleich auch oberes und unteres dreieckiges Raster ist, wird sie als Diagonalmatrize bezeichnet. Die Einheitsmatrix ist quasi eine Diagonalenmatrix, außer dass alle Bestandteile der Diagonalen eins sind.

Als Nullmatrix wird eine Matrize bezeichnet, in der alle Bestandteile NULL sind: eine Nullmatrix: Ein Block ist eine Matrize, deren Bestandteile alle selbst Matrizen sind. Das ist wie eine Matrizenmatrix. Klingt schwierig, genau wie die Arithmetik. Sie können mit Block-Matrizen die gleichen arithmetischen Operationen durchführen wie mit "normalen" Matrizen.

Doch nun ein kleines Beispiel, bevor wir mit den unterschiedlichen Berechnungsregeln für Matrizen beginnen. Matrizen werden, wie bereits gesagt, verwendet, um die linearen Beziehungen leichter und rascher zu berechnen oder zu bewerten. Ehe wir zu den individuellen Berechnungsregeln für Matrizen kommen, schauen wir uns ein kleines Beispiel an, das die Bedeutung und den Verwendungszweck der Matrixberechnung aufzeigt.

Die Wochenverbräuche der beiden Studenten sind wie folgend (in Maßeinheiten; ME): KW 1: KW 2: KW 3: KW 4: Der Wochenverbrauch der beiden Studenten könnte auch deutlicher dargestellt werden, und zwar in Tabelle: Der Wochenverbrauch der beiden Studenten: Konsum von Caddy in Tabellenform: Konsum von Jacqueline in Tabellenform: Das wirkt schon etwas klarer, aber die Repräsentation der Zahlenwerte geht noch viel rascher und leichter von der Hand, wenn man die Matrixnotation benutzt.

Sie repräsentieren die Reihen (m) und die Schönheitsprodukte die Säulen (n). Für beide, sowohl für sie als auch für Jacqueline, erhalten wir eine 4×3 Matrize, da wir 4 Reihen und 3-spaltig sind. Dabei werden die Werte/Elemente aus der Maske lediglich in die Matrize übernommen: Hier wird die Verbrauchsmatrix für Jindy mit dem Grossbuchstaben "C", für Jacqueline mit "J" bezeichnet.

Aufgrund der Notation in Matrixform können die Einzelwerte nun viel besser verglichen werden. Die Matrixberechnung dient aber nicht nur dazu, Ziffern klarer darzustellen. Den wirklichen Vorteil dieser Rechtschreibung wird klar, wenn man mit den Größen rechnet, beispielsweise durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation untereinander oder mit einem anderen Größenmaß.

Dies erfordert jedoch bestimmte arithmetische Operationen für Matrizen. Nun kommen wir zu den individuellen Berechnungsregeln für Matrizen. Dazu gehören die Addierung und Differenzierung von Matrizen, die Vervielfachung von zwei Matrizen untereinander und die skalare Vervielfachung. Hinzufügen von Matrizen: Um zwei Matrizen zusammenzufügen, müssen sie die gleiche Zahl von Reihen und Säulen haben.

Sie fügen zwei Matrizen zusammen, indem Sie die Matrizen mit dem gleichen Zeilen-/Spaltenindex hinzufügen. Zum Beispiel, um festzustellen, wie viele Kosmetikprodukte in der ersten Kalenderwoche (= erste Reihe ) zusammen genommen werden, werden die individuellen Säulenwerte (erste Reihe) aufaddiert. Wir kalkulieren für den üblichen Lipgloss-Verbrauch: 4 + 4 + 4 = 7, für Lack 8 + 6 = 14 und für Haarspray berechnen wir in der ersten Reihe und in der dritten Spalte:12 + 8 = 8 Es wird noch deutlicher und leichter, wenn die beiden Matrizen aneinandergereiht werden und die Mehrwerte in einer Ergebnis-Matrix erfasst werden.

Grundsätzlich ist das Hinzufügen von Matrizen so einfach wie 1×1, man muss nur wissen, welchen Mehrwert man mit welchem hinzufügt, dann funktioniert alles. Matrixsubtraktion: Das Abziehen von Matrizen ist fast das gleiche wie das Aufaddieren. Auch hier gilt die Vorraussetzung, dass beide Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben und somit die gleiche Größe haben.

Zur Berechnung der Differenz zwischen Cindys und Jacqueline Konsum von Schönheitsprodukten, subtrahieren Sie die Zahlenangaben ( "mit dem gleichen Zeilen- und Spaltenindex") einer Matrize von den Zahlen der zweiten: Natürlich die Unterschiede zwischen Cindys (1. Matrix) und Jacquelines (2. Matrix). Man kann aber auch feststellen, dass in keiner einzigen Schwangerschaftswoche die gleichen Mengen eines Schönheitsproduktes von Jacqueline und Co. konsumiert wurden.

Aufgrund der guten Werte in der Resultatmatrix war der Konsum von Cindy um diese Einheit größer als der von Jaqueline. Scalarmultiplikation: Angenommen, Cindy will den Konsum von Schönheitsprodukten für sich und fünf Schwester berechnen. Bei der Extrapolation einer Matrize ist die Vervielfachung mit einem Scalar immer nützlich.

Bei uns zum Beispiel, indem wir die gleiche Matrize für alle Krankenschwestern annehmen und den gesamten Verbrauch der Produkte errechnen. Beim Multiplizieren von zwei Matrizen immer zuerst prüfen, ob die Anzahl der Spalten in der ersten Matrize gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten ist. Dies ist die Voraussetzung, um überhaupt mit dem Kalkulieren anfangen zu können.

Wir können unsere beiden Matrizen (beide 4 x 3 Matrizen) nicht vervielfachen, da die erste Matrize 4 Reihen hat, die zweite aber nur 3-spaltig ist. Deshalb haben wir ein Beispiel zur Verdeutlichung einer Matrix-Multiplikation erstellt. Wir gehen hier davon aus, dass die Firma Jacqueline ihren wöchentlichen Kosmetikbedarf abdeckt und sich für ein Geschäft auswählt.

Nun können wir die Jaqueline Verbrauchsmatrix (J4,3) mit der Preismatrix (P3,2) vervielfachen. Die Anzahl der Datenspalten in der ersten Matrize (=3) ist gleich der Anzahl der Datenzeilen in der zweiten Kat. Die Preismatrix besteht aus 2 Säulen, die Verbrauchsmatrix von Jaqueline aus 4 Sätzen. Das Vervielfachen von zwei Matrizen ist die schwierigste der hier berücksichtigten arithmetischen Operationen. Am besten in Reihen und Kolonnen.

D. h. erste Reihe 1 der ersten Matrize und zweite Reihe 1 der zweiten Matrize. Dann werden die Zahlen aufaddiert. Das Verfahren der Vervielfachung wird am anschaulichsten, wenn man die beiden Matrizen tabelliert und dort die verschiedenen Berechnungsschritte durchführt: Jetzt können die Kosten für die Kosmetikprodukte pro Apotheke und pro Kalenderwoche klar in einer Kalkulationstabelle abgezogen werden: In Matrixform wird das Ganze dann logisch "Kostenmatrix" genannt.

Dieser hat vier Reihen und zwei Säulen und ist somit eine 4 x 2 Matrize (K4,2). Die Beschreibung und damit auch die Gestaltung der Kostenstellenmatrix ergeben sich immer aus der Anzahl der Reihen in der ersten und der Anzahl der Reihen in der zweiten Matrize. Das, was man nicht mit Sicherheit allein durch den Blick auf die Preisliste feststellen kann - in welcher Apotheke Jaqueline alle ihre Schönheitsprodukte billiger pro Woche kauft - wird mit der Preismatrix klarer.

Auf den ersten Blick sieht man also, dass der zweite Säulenvektor (Kosten für alle 3 Beauty-Produkte) in jeder Reihe (also in jeder Woche) größer (= teurer) ist, als im ersten Säulenvektor. Anders ausgedrückt: Bibi´s Beauty Bude ist für Jaquelines Konsum jede Wöchentlich teuerer als Susi´s shop. Deshalb sollte Jacqueline jede Wöchentlich bei Susi´s einkaufen (solange die Preis- und Verbrauchswerte gleich bleiben).

Sobald Sie das Funktionsprinzip verstehen, ist das Berechnen mit Matrizen ganz einfach. In der Vergänglichkeit bestehen allenfalls Gefahren, die insbesondere beim Vervielfachen oder Berechnen mit großen Matrizen auftritt.

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